Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 không phải là tích của hai số tự nhiên nhỏ hơn chính nó. Nói cách khác, số nguyên tố là những số chỉ có đúng hai ước số là 1 và chính nó. Các số tự nhiên lớn hơn 1 không phải là số nguyên tố được gọi là hợp số. Chẳng hạn, 5 là số nguyên tố bởi số này chỉ có thể viết dưới dạng tích 1 × 5 hoặc 5 × 1, trong đó có một thừa số là chính số 5. Ngược lại, 6 là hợp số do là tích của hai số (2 × 3) mà cả hai số đều nhỏ hơn 6. Số nguyên tố là nội dung trọng tâm trong lý thuyết số theo định lý cơ bản của số học: mọi số tự nhiên lớn hơn 1 hoặc là số nguyên tố hoặc có thể được phân tích ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất xê xích một phép hoán vị.
Một phương pháp đơn giản để kiểm tra tính nguyên tố của một số
n
{\displaystyle n}
được gọi là giải thuật chia thử. Giải thuật này kiểm tra xem
n
{\displaystyle n}
có phải là bội số của bất kỳ số nguyên nào giữa 2 và
n
{\displaystyle {\sqrt {n}}}
hay không. Một số thuật toán khác bao gồm phép kiểm tra Miller–Rabin (nhanh nhưng có xác suất nhỏ cho kết quả sai) và phép kiểm tra tính nguyên tố AKS (luôn cho lời giải đúng trong thời gian đa thức nhưng quá chậm để áp dụng trong thực tế). Ngoài ra, còn có một số thuật toán nhanh dành cho các số có dạng đặc biệt, chẳng hạn như số nguyên tố Mersenne. Đến nay, số nguyên tố lớn nhất đã biết là một số nguyên tố Mersenne có 41.024.320 chữ số, được khám phá vào tháng 10 năm 2024.
Có vô số số nguyên tố, như đã được Euclid chứng minh vào khoảng năm 300 TCN. Hầu như không có công thức đơn giản nào để phân biệt số nguyên tố và hợp số. Tuy nhiên, sự phân phối các số nguyên tố trong tập hợp các số tự nhiên có trong một khoảng giá trị lớn có thể được mô hình hóa theo thống kê. Kết quả đầu tiên theo hướng đó là định lý số nguyên tố, được chứng minh vào cuối thế kỷ 19, cho rằng xác suất để một số bất kỳ là số nguyên tố tỉ lệ nghịch với số chữ số của nó, nghĩa là với logarit của nó.
Một số bài toán lịch sử liên quan đến số nguyên tố vẫn chưa có lời giải. Chúng bao gồm giả thuyết Goldbach, cho rằng mọi số nguyên chẵn lớn hơn 2 có thể được biểu diễn thành tổng của hai số nguyên tố, và phỏng đoán về số nguyên tố sinh đôi, cho rằng có vô số cặp số nguyên tố chỉ có một số chẵn giữa chúng. Những bài toán như thế đã góp phần thúc đẩy sự phát triển của nhiều nhánh trong lý thuyết số tập trung vào khía cạnh đại số và giải tích của các số. Số nguyên tố cũng có ứng dụng trong một số lĩnh vực của công nghệ thông tin, chẳng hạn như mật mã hóa khóa công khai, dựa vào sự phức tạp trong việc phân tích các số nguyên lớn ra thừa số nguyên tố. Trong đại số trừu tượng, còn có một số đối tượng khác có đặc điểm và tính chất giống với số nguyên tố, trong đó gồm phần tử nguyên tố và i-đê-an nguyên tố.
